我们知道一个数的平方永远是正的，10的平方是正100，负10的平方是正100。所以可以想当然的认为只有正数有平方根，负数没有平方根。但是数学家在计算的时候经常会遇到负数的平方根。例如，有没有可能找到两个数字，并使它们相加为10，乘积等于40？在实数范围内，答案是不存在的。但是如果允许一个负数的平方根存在，那么我们就可以找到一个答案，但是这个答案会包含那个奇怪的数字——15。数学家给负数的平方根起了个名字，对应实数，叫做虚数。还规定根号-1叫I，这样根号-20就是20i，根号-15就是15i。

虚数

但是虚数真的没有意义，所以即使它在数学计算中大量出现，数学家们一开始还是不承认它的名分。比如著名数学家欧拉说，虚数就是虚数，是不能存在的。它们什么都不是，纯粹是虚幻的。不过话虽如此，欧拉还是在该用虚数的时候用虚数，因为实在没办法。没有它们，很多计算根本无法进行。

空间中的数

虚数这个尴尬的位置持续了200多年，最后有两位业余数学家给它起了个名字。这两个人，一个是测量员，一个是会计。从几何的角度，他们对虚数做了这样的解释：看，我们通常所说的“数轴”就是画一条水平线，然后标一个零，左边是负数，右边是正数。虚数要在数轴上找位置，应该怎么找？两人说，在这条横线上，肯定是找不到的。我们应该在零点画一条垂直于横轴的纵轴，并用1，2，3，4标记.只有这条线代表一个虚数，所以实际上是1i，2i，3i…….这样两条线就形成了一个坐标系，所有的数字都可以在这个坐标系中找到。比如15i，也就是根号-15，在坐标轴的纵轴上。如果是20个根号-15，那么在横轴上找20，在纵轴上找15i，然后两者相交，就可以在坐标轴上找到这个数。

坐标轴

你肯定想问，我什么都懂，但是这个虚数不还是没用吗？其实虚数真的很有用，而且很有用。我们可以用虚数把时间和空间结合起来，构造一套四维空间几何。而这套几何会让我们发现，时间和空间不是绝对独立的，也不是恒定不变的。如果你熟悉物理学，你会发现这个观点就是爱因斯坦相对论的雏形。

虚数有用吗

维度

我们生活的世界是一个空间上的三维世界，也就是说无论你采用哪种方法，都需要至少三维的数据来确定任何位置，比如经度、纬度、高度。但如果我们要确定一个事物的具体情况，光有空间是不够的，还得加上另一个维度，时间。比如2017年9月24日晚上10点，北京海淀区下雨，可以准确说出一个具体事件。所以，我们需要四维来精确确定一个东西的时空位置。换句话说，我们生活在一个四维时空的世界里。

但如果要把时间当成第四维，就必须面对一个问题，那就是如何把时间和空间连接起来进行计算？比如我们如何在一个四维时空里测量两个事件之间的距离如果要测量长、宽、高，可以用统一的单位，比如多少米、多少英尺。但如果要计量时间，只能用小时、分钟、年。1米和1小时怎么结合？

测量

乍一看，这个问题就像负数的平方根一样没有意义，但是有办法解决。比如说。如果你问路，地铁站有多远？他们可能会告诉你有点远，走路要20分钟。你还不如骑自行车共享，5分钟就到了。这是用时间表示距离的典型方式。只要找到一定的速度，就可以把时间转换成空间。那么我们如何找到这个确定的速度呢？你可能已经想到了，这就是光速。科学家发现，光在真空中的传播速度是恒定的，不受任何情况的影响。如果我们把光速和时间结合起来，我们可以得到一个距离单位。例如，光年是一个距离单位，它代表光在一年中传播的距离。如果要计算五分钟相当于多远，用五分钟乘以光速就可以得到一个距离。

超正方体

现在所有的工具都有了，让我们看看科学家们是如何确定四维时空中两个事件之间的距离的。测量两个事件在空间上的距离是很简单的，时间上的距离也刚刚说过。我们可以测量两个事件之间的时间间隔，然后乘以光速得到一个距离。

关键是时间和空间毕竟还是两回事。不能简单的把两个结果相加，没有意义。这两个距离必须加以区分，并以不同的方式显示。那怎么区分呢？科学家想了一个办法：建立坐标系，然后以空间距离为横轴，时间距离为纵轴。这样，四维时间中的距离既有空间意义，又有时间意义，可以将两者完美结合。

维度之外

听到这个坐标轴，你应该记得刚才说的虚数吧？是的，虚数在这个计算中起着重要的作用。因为代表时间距离的纵轴实际上相当于虚轴。在四维空间的计算中，时间距离乘以I，即乘以根号减1来表示时间。

计算

利用虚数将时间和空间结合在一起，组成坐标系之后，科学家发现了一个非常奇异的现象：我们平常所说的两个事件之间的时间距离和空间距离，其实可以看作是四维距离在时间和空间这两根坐标轴上的投影。这么一来，一旦旋转这个四维坐标系，就可以让时间和距离相互转化。从这一点出发，我们会发现，时间和空间都不是恒定不变的，而是跟物体的运动状态有关。什么意思呢？一个静止的人，和一个高速运动的人，时间在他们身上流逝的快慢是不同的。这就相当于运动旋转了时空坐标系，因此改变了四维距离在时空坐标轴上的投影。听到这里，你可能已经意识到了，这不就是狭义相对论嘛。也就是说，数学家们曾经以为没用的虚数，在相对论的计算中就派上了一个大用场。人们恍然间发现，原来看似毫无意义的虚数之下，居然隐藏着如此重要的意义。