证明：y=x a

两边对数lny=alnx

两边x的导数(1/y)*y'=a/x

所以y'=ay/x=ax a/x=ax (a-1)

y=a^x

两边同时取对数：

lny=xlna

两边同时对x求导：

==y'/y=lna

==y'=ylna=a^xlna

幂函数：形状为y=x(a为实数)的一般函数，即以底数为自变量，以幂为因变量，以指数为常数的函数称为幂函数。比如函数y=xy=x，y=x，y=x(注意x0时：y=x=1/xy=x)等等都是幂函数。A取非零有理数的时候很好理解，但A取无理数的时候初学者就不太好理解了。所以在初等函数中，我们不需要掌握指数是无理数的问题，我们只需要把它作为一个已知的事实来接受，因为这涉及到极其深刻的实数连续性的知识。

幂函数是基本的初等函数之一。

一般来说，y=x(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。比如函数y=x0，y=x1，y=x2，y=x-1(注：当y=x-1=1/x时，y=x0，x0)都是幂函数。

特点：

对于是非零有理数，有必要讨论几种情况下它们各自的特征：

首先我们知道，如果q和p都是整数，那么如果q是奇数，函数的定义域就是r；如果q是偶数，则函数的定义域为[0，)。

当指数为负整数时，设=-k，那么显然x0，函数的定义域为(-，0)(0，)。所以我们可以看到，X的局限性来自两点。一种是可能作为分母但不是0，另一种是可能在偶数根号下但不是负数，所以我们可以知道：

当小于0时，X不等于0；

当的分母为偶数时，x不小于0；

当的分母为奇数时，X取r。