虚数单位I最常见的定义是=i，定义是=-1(我比较喜欢这个)。请注意，对于负实值的平方根，或任何根，当涉及到以下乘积时，您必须小心。

这显然是错误的；应该是。=-1.这里有一个限制：取两个负实数的平方根的乘积时，每个因子在相乘前都要转换成复数。这个转化看起来是这样的，

复数有实部和复部。比如复数z=a bi有a的实部和b的虚部，可以写成re (z)=a，im (z)=b，如果一个复数的实部是0，那么这个数就是纯虚的。像7这样的数是常见的复数，它的虚部是0。可以在复平面上画复数，复平面有实轴和虚轴。这种bi形式也被称为复数的矩形形式。

在数字系统中，nzqr；复数是实数的超集。它们是独一无二的，有现实世界的应用，就像复数做实数做不到的事情一样。复数的集合类似于实数R和有序实数对的集合(你可以把每个复数看成是它的实部和虚部的有序对)。但复数相对于实数的一个基本优势是：求复数的乘积非常简单，结果是另一个复数；试图找到两个有序实偶的乘积是非常复杂的。

在现实世界中，复数的应用出现在二维流体力学中，或者在工程中代表平面的旋转，因为复数提供了二维系统的精彩表达。

基本算术：复数的求和，模和共轭

计算复数的和很简单，你只需要把它们的实部和虚部相加。例如， I(437 I)(1234 I)=(4312)I(734)=6527 I。换句话说，Z1 Z2=(Re(Z1)(Z2)]I[IM(Z1)IM(Z2)]。你要做的就是把I当成其他常规的代数变量，加上类似的项。更直观的解释是用复数的向量。当两个复数相加时，你在求两个向量的和，将一个向量的底部平移到另一个向量的顶部。

复数的绝对值/半径/模数是一个数在复平面原点的位置。利用距离公式，我们得到复数z=a bi的模r为r=。| z1z2 |是两个复数的绝对值，表示复平面上两个复数点之间的距离。这样一个等式| z (34i) |=3表示距离34i 3个单位的所有复数的集合。解集可以画成一个圆。

复数z=a bi的共轭，用z-表示，等于abi。换句话说，它是一个反映在实轴上的复数。它的性质是，如果你取一个复数和它的共轭的乘积，你总是得到模的平方。实际上，这就是你得到平方和公式的方式。

共轭复数有很多性质；这里有一些：

下面是一个众所周知的定理的例子，它涉及到多项式使用共轭的性质。

复数共轭定理:给出了多项式P(x)，如果a-bi是多项式的根，那么a-bi也一定是根。

复数的极坐标形式

到目前为止，我们一直在考虑复数的实部和虚部。还有一种表示复数的方法，在某些情况下更有用。它使用复数的模和它的辐射角(从右X轴到指向复数的向量)。下图中，r是模数和振幅角。换句话说，lzl=r，=arctan(y/x)。

所以复数可以写成：

复数还有一种极坐标形式：

利用它可以推导出著名的欧拉公式。请看复数的欧拉公式。

下面是利用复数的极坐标形式对复数进行的乘、除、乘、根的运算。