数学归纳法常见方式

第一次数学归纳。确定表达式在所有自然数中都有效，或者确定另一种形式在无穷序列中有效。数理逻辑和计算机科学的广义形式的观点指出，能找到的表达式是等价的。

第二个逆向归纳。证明数列前n项求和公式及通项公式成立。

第三个螺旋感应。证明与自然数有关的不等式。

数学归纳法的原理是：首先证明命题在某个起点值(正整数或自然数)有效，然后证明从任意一个值可以推导到下一个值的过程有效。当这两点都被证明后，通过反复使用这种方法，就可以全部得到验证。这个方法可以和多米诺骨牌相比。

例如，有一长串骨牌直立着。如果可以：

1.证明第一块多米诺骨牌会倒下。

2.证明只要任何一块多米诺骨牌倒下，与之相邻的下一块多米诺骨牌也会倒下。

那么可以断定，所有的多米诺骨牌都会倒下。

在高考中，一些与数学归纳法相关的题目往往与数列相结合。在解决数列相关问题时，教师可以引导学生利用数学归纳法先做假设，再做证明，从而清晰地梳理解题思路，得到正确答案。

例如，已知序列{an}，其中a2=6且(an1an-1)/(an1-an1)=n。

(1)找到a1、a3和a4。

(2)求数列的通项公式。

第一次小考，先把n=1，n=2，n=3分别代入上式。

get(a2a 1-1)/(a2-a11)=1；

(a3 a2-1)/(a3-a2 1)=2；

(a4 a3-1)/(a4-a3 1)=3；

将已知条件a2=6代入 公式，可以得到a1=1，a3=15，再将a3的值代入公式，可以得到a4=28，从而解决了第一次竞猜的问题。这类题不需要学生的思维和逻辑能力。在解题过程中，学生不难算出答案。

至于第二个小测验，已知条件是数列前四项的具体值，除了一个递推公式，没有其他信息。此时，教师可以引导学生总结已知信息的规律，通过前四项的结构特征猜测数列的通项，然后运用数学归纳法先假设再证明，最后得到答案。

关于这个题目，级数的前四项可以分别写成a1=1*1，a2=2*3，a3=3*5，a4=4*7。观察其结构特征可以发现，前四项的值可以表示为一个正整数和一个奇数的乘积。即：a1=1*(2*1-1)，a2=2*(2*2-1)，a3=3*(2*3-1)，a4=4*(2*4-1)，由此我们可以推断出an=n*(2n-1)。